Çözüldü Cos^2(x)'in türevinin integrali alındığında tekrardan türevi elde edememe

SideWinder dedi:

Soruyu atabilir misin direkt? Böyle yazınca bir şey anlaşılamıyor sanki. Ama evet, C'den geliyor. cos2(x)+C olmalı normalde.

Sürprizbozan

Eki Görüntüle 1205943

Genişletmek için tıkla...

SypeR dedi:

cos^2(x) için türev alırsan türev alma kurallarına göre şu şekilde işlem yapman gerekir:

• f(x) = a(x) * b(x)
  • olsun
• f'(x) = a'(x) * b(x) + a(x) * b'(x)
  • bu kurala göre
• f(x) = cos(x) * cos(x)
  • dersek
• f'(x) = 2 * cos'(x) * cos(x)
  • olur.
  • cos'(c(x)) = - c'(x) * sin(c(x))
    • olduğuna göre yerine koyalım.
• f'(x) = 2 * (- sin(x)) * cos(x)
  • olur.

Şimdi -2*sin(x)*cos(x) fonksiyonu var elimizde.

• 2*sin(x)*cos(x) = sin(2*x)
  • olduğu için elimizde geriye
• - sin(2*x)
  • ifadesi kalıyor. Buraya kadar her şey doğru.

Gelelim İntegral kısmına:

• int(-sin(2*x) dx)
  • sin(2*x) integrali alınamaz bir ifadedir. Bunun için U dönüşümü kullanmak zorundasınız.
  • u = 2x, du = 2dx
    • olsun.
    • Artık elimizde integrali alınabilir bir ifade olduğu için (1/2 * sin(u) * du) kolaylıkla integralini alabiliriz.
  • Yeni fonksiyonumuz: -1/2 * int(sin(u) * du) olur.
  • Biliyoruz ki sin(x) ifadesinin integrali -cos(x) + c ifadesidir. Bunu yaparsak;
• (-1/2) * (-cos(u)) + (adettendir +c)
• = 1/2 * cos(u) + c
  • u ifadesini yerine koyalım
• = 1/2 * cos(2x) + c

Gelelim Trigonometrik dönüşüm kısmına:

• cos(2x) = cos(x+x)
  • ise
• cos(2x) = cos(x)*cox(x) - sin(x)*sin(x)
  • buradan da eline
• cos^2(x) - sin^2(x)
  • gelir.
  • Yerine koyarsak
• 1/2 * (cos^2(x) - sin^2(x)) + c
  • ifadesini elde ederiz.
• s^2 + c^2= 1 eşitliğinden ise
  • s^2 = 1 - cos^2 ifadesini elde ederiz.
  • Bunları işlersek elimizde:
• 1/2 * [cos^2(x) - (1 - cos^2(x))] + c
  • kalır. Eh buradan da:
• cos^2(x) - 1/2 + c
  • kalır.
  • -1/2 ve +c birbirlerini götürürler. Buradan da elimizde yalnızca
• cos^2(x)
  • ifadesi kalır.

Aslında C ifadesi 1/2'ye eşit değil. Zira C belirli İntegral ile değeri bulunabilen bir değişken. Biz karşıya eşitlik olarak cos^2(x) ifadesini koyarak C'nin yandaki sabitleri iptal etmesini sağladık. Bir nevi nötrleştirici gibi düşünün.

Genişletmek için tıkla...