Higher - Order derivatives (Yüksek mertebeden türev) Engilsh - Türkçe

If the derivative y'=f'(x) of a function y = f(x) is itself diffrentiable at x , we can calculate its derivative , which we can call the second derivative of f and denote by y''=f''(x). As is the case for first derivatives , second derivatives can be denoted by various notations depending on the context . Some of the more common ones are

bir y = f(x) fonksiyonun türevi y'=f '(x) x göre türevlenmişse , bizler onun 2. türevini hesaplaya biliriz. Birinci türevinde oldugu gibi . İkinci türev içeriğine bağlı olarak farklı gösterilebilir.
en yaygın gösterimleri :

y''=f ''(x)= d^2y/dx^2 = d/dx . d/dx f(x) = d^2/dx^2 =D^2xy=D^2xF(x).

Similarly , you can consider third-,fourth-,and in general nth-order derivatives. The prime notations is incovenient derivatives of high order, so we denote the order by a superscript in parentheses(to distinguish it from an exponent) : the nth derative of y = f(x) is

Benzer olarak , sizlerde 3 ,4 ve genel olarak n mertebenden türevleri düşünebilirsiniz. n derecen türevin gösterimi aşagıdaki gibidir.
y^=f^(x)=d^n.y/dx^n= [ d^n /dx^n ] . f(x)

To give an expamle:
Bir örnek vermek gerekirse :
y=x^3 se y'=3x^2 , y'' = 6x , y''' =6 ,y^4 =0 and higher derivatives are zero (4 ve 4 ten sonraki bütün mertebenden türevi 0dir. )

example 1: find the nth derivative , y^, of y = 1/1+x (ifadesinin n.derceden türevini hesaplayanız)

1 / 1+x =(1+x)^-1=y
y'=-(1+x)^-2
y''=2(1+x)^-3
y'''=-6(1+x)^-4
y''''=4!(1+x)^-5

in this case (bu durumda)
y^n =(-1)^n.n!(1+x)^-n-1

we have not yet actually proved that the above formula is correct for every n , although its clearly correct for n = 1,2,3 and 4. To complete the proof we use mathematical induction . Suppose that the formula is valid for n = k ,where k is some positive integer .Consider y (k+1) :

Henüz aslında yukaridaki ifade her n için dogru bir formul degil. n =1 ,2 , 3 ,4 için kesinlikle dogru gözüksede , kanıtlamak icin matiksel indüksiyon kullanacaz . n=k ise , k pozitif tamsayı oldugu yerde , y^(k+1) düşün

y^(k+1) =(d/dx).y^k =d/dx((-1)^k.k!(1+x)^-(k+1))

= (-1)^k.k!(-k-1)(1+x)^-k-2
=(-1)^(k+1).(k+1)!(1+x)^-(k+1)-1 .


Find a formula for f^n (x), given that f(x)=sin(ax+b) (sin(ax+b) fonksiyonun n.derecen türevinin formulunu bulunuz)

solution : f'(x)= a.cos(ax+b)
f''(x)=-a^2.sin(ax+b)
f'''(x)=-a^3.cos(ax+b)
f^4= a^4. sin(ax+b)
f^5 = a^5.cos(ax +b)
so that (bu yüzden)

if n=2K+1(tekse) = (-1)^k.a^n.cos(ax+b)
if n=2k (çiftse)=(-1)^k.a^n.sin(ax+b)