Köklü sayı formüllerinin ispatı

Merhabalar. Öncelikle paylaşılan görüntünün zar zor göründüğünü biliyorum. Yine de göz ucuyla, kısık parlaklıkla ya da ekranın alt kısmından bakarsanız biraz netleşecektir.
Bu formülleri üç gruba ayırdım.
Birincisi belirli miktardaki kareköklü çarpımlar.
İkincisi sonsuz kere yapılan kareköklü toplam ve farklar.
Üçüncüsüyse herhangi dereceden bir kökle sonsuz kere yapılan çarpma ve bölmeler.

Birincisinin ispatını denedim. Örneğin iç içe 5 tane karekök 7'yi çarptım ve 7'nin kuvveti sırasıyla şöyle değişti: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32. Devam etseydim 63/67, 127/128... olacaktı. Bunun sebebi de sanırım kök içerisindeki sayının kuvvetinin 1, kök derecesinin de 2 olması. Böylelikle kök her dışarı çıktığında kuvveti 2'ye yani kök derecesine bölünüyor. Çıktıktan sonra çarpıldığındaysa payı artıyor fakat paydası da ikiyle çarpılıyor. 1/2 < 2/4 < 7/8 < 15/16 < 31/32. Bu da bize (2^n - 1)/2^n formülünü veriyor. Sorum şu: Kök derecesinin iki olmadığı bu tür belirli miktardaki iç içe köklü ifadelerin çarpımında nasıl bir yol izleyecektik?

İkinci grup içinse önce şöyle bir örnek vereyim. İç içe sınırsız sayıda karekök 6 toplanıyorsa sonuç 3, çıkarılıyorsa da sonuç 2 oluyormuş. Ardışık çarpanları 3 ve 2 olduğundan dolayı. Bunun neden böyle olduğunu anlamadım ama şöyle bir tahminim var. Kök 6 sayısı, kök 4 -yani 2- ve kök 9 -yani 3- arasında olduğundan toplamalarda büyüğe, çıkarma işlemi yapılıyorsa küçüğe yuvarlanıyor. Bunun asıl sebebi ve ispatı nedir?

Ve üçüncü grup. Burada da aklıma takılan nokta şu oldu: İç içe çarpımlarda kök derecesi bir azaltılıyor, iç içe bölümlerdeyse kök derecesi bir artırılıyor. Bunun sebebi için de bir tahminim var. Oda şu: Kök derecesi N, kök içindeki sayının derecesi m olsun. Köklü sayılar kökten dışarı çıkarılırken kuvvetleri m/n olur. Kök 4 = 4^(1/2) = 2^[2*(1/2)]=1 gibi. Burada sürekli yapılan çarpma işlemleri m/n oranını büyütüyor ve paydanın yani kök derecesinin küçülmesine sebep oluyor. Sürekli yapılan bölme işlemleriyse m/n oranını küçültüyor ve paydanın -yani kök derecesinin- büyümesine sebep oluyor. Peki tahminim doğru mu ve bunun ispatı ne olabilir?

Mor dedi:

Kök derecesinin iki olmadığı bu tür belirli miktardaki iç içe köklü ifadelerin çarpımında nasıl bir yol izleyecektik?

Genişletmek için tıkla...

Belirli sayıda ise hepsini en içteki köke atıyorsun. O kadar. Formül bunu seri şekilde yapıyor.
Sonsuz sayıda ise şu şekilde oluyor. x bizim sonuç değerlimiz olsun. kök(a * x) = x diyebiliyoruz. İçeride de aslında kendisinden bir tane daha var. İki tarafın karesini alırsan x^2 = a*x gelir. İki tarafı x'e bölersen a = x çıkar. Farklı üsler, kök dereceleri için aynı şey uygulanıp düzgün sonuç elde edilebilir. Sendeki bir artırma ve bir eksiltme düzgün sonuç.

Sonsuz adetteyken ikinci de aynı şekilde. Toplamdan gidelim. a'nıncı dereceden kök içinde b'lerin toplamı olsun. Hemen x = a'nıncı dereceden kök(b + x) diyoruz. Buradan iki tarafın da a'nıncı kuvvetni alıp işlem yapıldığında iki kök gelir. Hesaplamayacağım ama büyük veya küçük kökü al diyorlar ya, %99 ihtimalle diğer kök negatif oluyor. O yüzdendir.

Konudan bağımsız biraz daha okunaklı yaptım.

Ali Pınar dedi:

Eki Görüntüle 755120
Konudan bağımsız biraz daha okunaklı yaptım.

Genişletmek için tıkla...

Teşekkürler. Bunu hangi bu program aracılığıyla yaptınız acaba? Tarattığım tüm belgelerde aynı bulanıklık sorununu yaşıyorum da.

Mor dedi:

Teşekkürler. Bunu hangi bu program aracılığıyla yaptınız acaba? Tarattığım tüm belgelerde aynı bulanıklık sorununu yaşıyorum da.

Genişletmek için tıkla...

Kendim kontrast, renk doygunluğu, parlaklık gibi ayarlarla oynayarak en doğru halini buldum. Google Fotoğraflar kullandım.

Hocam konuyla biraz alakasız belki ama bu kurallar lise müfredatından muhtemelen kalktı. Kalkmasa bile artık yeni nesil sorularda ezber sorulmadigi için bilmeseniz de kaybınız olmaz. Bilin istedim.

Nieagerams dedi:

Hocam konuyla biraz alakasız belki ama bu kurallar lise müfredatından muhtemelen kalktı. Kalkmasa bile artık yeni nesil sorularda ezber sorulmadigi için bilmeseniz de kaybınız olmaz. Bilin istedim.

Genişletmek için tıkla...

Biliyorum zaten . Halihazırda bir lise öğrencisiyim. Aklıma takıldıkları ve öğrendiklerime derinlik katmak istediğim için soruyorum.