Son kullanma tarihi geçmiş, bayatlamış bir tarayıcı kullanıyorsanız, Mercedes kullanmak yerine tosbağaya binmek gibi... Web sitelerini düzgün görüntüleyemiyorsanız eh, bi' zahmet tarayıcınızı güncelleyiniz. Modern Web standartlarını karşılayan bir tarayıcı alternatifine göz atın.
Teorik olarak session'da tutabilmeniz gerekiyor. Tarayıcı kapanınca gitmesi session mantığının yetersizliğinden değil. Session sistemleri de arkaplanda cookie kullanıyor. sunucu tarafında değerler bu cookie ile eşleştiriliyor. Asp.net MVC'de session süresini uzatmaya bakmanız daha mantıklı...