L'Hopital kullanmadan çok uğraştırıcı, neden böyle bir zorunluluk var bilemedim.
Bu tip problemlerde genelde bir şeyi yerine yerleştiriyorsunuz ki kesirin bir tarafından pi/6 ya da benzeri bir terimi yok edin. O yüzden x = theta + (pi/6) diyelim ve yerine yerleştirelim. Böyle olunca limit de 0'a gidiyor.
Eki Görüntüle 1580801
Sinüsün içindeki ifadeyi sin(A+B) = sinAcosB+sinBcosA eşitliğiyle açın.
Eki Görüntüle 1580802
Burada hesaplayabildiğimiz kosinüs ve sinüsleri hesaplayıp yerine yerleştiriyoruz. Sonra da limiti iki farklı toplam olarak ikiye ayırıyoruz. Üçe ayırmamız da mümkün ama o zaman (1/2) / x limitini x 0'a giderken hesaplayamayız, o yüzden onu kosinüsle aynı limitte tutalım ve 1/2 ortak parantezine alalım.
Eki Görüntüle 1580804
Buradaki iki limit de bilinen limitler, derste yapmış olabilirsiniz. Eğer onların da kanıtı isteniyorsa soru iyice uzuyor.
Önce x 0'a giderken sin(x)/x. Bu çok klasik bir limit, kanıtında da birim çember kullanılıyor.
Eki Görüntüle 1580808
İş bundan biraz daha detaylı ama temelinde yukarıdaki şekil kullanılıyor. Buradan sinx'in oluşturduğu üçgenin alanının x'in oluşturduğu kesit alanından küçük, o kesit alanının da tanx'in oluşturduğu üçgenin alanından küçük olduğunu görebilirsiniz. Alanları basit üçgen formülü ve kesit alanıyla hesaplayıp bölü ikileri götürdükten sonra şu eşitsizliğe varıyoruz:
Eki Görüntüle 1580809
Her tarafı sinx'e bölüp çarpmaya göre terslerini alınca da şu eşitsizliğe:
Eki Görüntüle 1580810
Mutlak değerlerin gitmesinin sebebi 1. ve 4. bölgeler için değerlerin her türlü pozitif olması. Bizi ilgilendiren 1. ve 4. bölge çünkü limit alırken o iki taraftan yaklaşacağız. Bu eşitsizlikten sonra sandviç teoremini kullanarak 1 ve cosx'in x 0'a giderkenki limitinin eğer eşitlerse sinx/x'in x 0'a giderkenki limitine eşit olduğunu görebiliriz. Ki eşitler, ikisinin limitinin de 1 olduğunu kolayca görebilirsiniz, yani sinx/x'in x 0'a giderkenki limiti 1.
Şimdi diğer limit. Limitin içindeki kesrin iki tarafını da cosx + 1'le çarpmamız lazım. Bunu kendi başınıza bulmanız çok zor ama dediğim gibi, bunlar bilinen limitler. Büyük ihtimalle tek tek kanıtlamanıza gerek yok. Ben yine de açıklıyorum. Çarpmadan sonra da pisagor teoremini kullanıp cos^2(x)'in yerine yerleştirin. Bunu yaptıktan sonra:
Eki Görüntüle 1580811
En sonda limiti ikiye ayırıyoruz:
Eki Görüntüle 1580812
İlk limiti zaten hesaplamıştık, 1. Eksi birle çarpılınca -1. İkinci limiti de yerine koyarak basitçe 0 olarak bulabilirsiniz, 0. Yani başta bulmak istediğimiz limitin değeri 0.
Eki Görüntüle 1580813
İki limitin de değerini bildiğimize göre yerlerine yerleştireceğiz. Amacımız şunu bulmaktı:
Eki Görüntüle 1580804
Yerlerine yerleştirince:
Eki Görüntüle 1580814
Yani sorunun cevabı kök üç bölü 2. Ama bu çok uzun bir yöntem. Büyük ihtimalle sizden bunun tamamı istenmiyordur. Dersin öğretmeninin bunun ne kadarını istediğini, derste nasıl anlattığını siz bilirsiniz. Bir sorunuz varsa çözüm hakkında sorun.