Sayısal Olasılık soru çözümü

Bayes teoremi kullanarak çözebilir misiniz?
Bir grup öğretmen okulun öğrencilerine işaret konulmadan okunan bir dersin sınav kağıtlarını veriyor. Kağıtların değerlendirilmesi isteniyor. Öğrenciler geçer not alan sınav kağıtlarının %90'ına, kalır not alan öğrencilerin %15'ine geçer not vermişlerdir. %70'i aslında geçer not alan bu kağıtlardan bir tanesi seçiliyor ve öğrenciler tarafından kalır not verildiği biliniyor. Bu notun geçer not olma olasılığı nedir?

"Bu sorunu çözmek için bayes Teoremi'ni kullanabiliriz. Bayes teoremi, koşullu olasılıkları hesaplamak için kullanılır.

Verilen bilgileri kullanarak adım adım ilerleyelim:

P(geçer not) = geçer not alan kağıt seçme olasılığı = 0.9p(kalır not) = kalır not alan kağıt seçme olasılığı = 0.1

P(geçer not | seçilen kağıtın geçer not alması) = 0.7 (yani, öğrencilerin %70'i geçer not alan bir kağıtı kalır not olarak değerlendirmiş)

Şimdi, sorulan şey p(seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması) olasılığıdır.

Bu durumu bayes teoremi ile hesaplayabiliriz:

P(seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması | seçilen kağıtın kalır not olarak değerlendirilmesi) =

= P(seçilen kağıtın kalır not olarak değerlendirilmesi | seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması) * p(seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması) / p(seçilen kağıtın kalır not olması)

Burada bize verilen bilgileri kullanarak adım adım bu değerleri hesaplayabiliriz:

P(seçilen kağıtın kalır not olarak değerlendirilmesi | seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması) = 1 - p(seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması) = 1 - 0.7 = 0.3

P(seçilen kağıtın kalır not olması) = p(seçilen kağıtın kalır not olarak değerlendirilmesi) * p(kalır not) = 0.3 * 0.1 = 0.03

Son olarak, bayes Teoremi'ni kullanarak bulmak istediğimiz olasılığı hesaplayabiliriz:

P(seçilen kağıtın gerçekte geçer not olması | seçilen kağıtın kalır not olarak değerlendirilmesi) = (0.3 * 0.9) / 0.03 = 0.9

Yani, seçilen kağıtın gerçekte geçer not olma olasılığı %90'dır."

Chat GPT böyle diyor

Yapay zekalardan biri pek zeki değil anlaşılan ama hangisi?

Bu soru, Bayes Teoremi kullanılarak çözülebilir. Bayes Teoremi, bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için kullanılır. Bu durumda, geçer not olma olasılığı, seçilen kağıdın aslında geçer not aldığı bilindiğinde hesaplanabilir.

Öncelikle, kağıdın kalır not aldığı bilindiğine göre, geçer not olma olasılığı, kağıdın aslında geçer not aldığı koşulu altında hesaplanabilir. Bu koşul, seçilen kağıdın aslında geçer not aldığı bilindiğinde, yani P(A|B) olarak ifade edilir. Burada, A, kağıdın aslında geçer not aldığı olayı temsil ederken, B, kağıdın kalır not aldığı bilgisini temsil eder.

Ayrıca, kağıdın aslında geçer not aldığı bilindiğinde, kağıdın seçilme olasılığı, yani P(A), kağıtların %70’ine karşılık gelir. Kağıdın kalır not aldığı bilindiğinde, kağıdın seçilme olasılığı, yani P(B), tüm kağıtların %100’üne karşılık gelir.

Son olarak, kağıdın kalır not aldığı bilindiğinde, kağıdın aslında geçer not aldığı olasılığı, yani P(B|A), geçer not alan kağıtların %10’u (yani %90’ının kalır not aldığı) ve kalır not alan kağıtların %15’i (yani %15’inin geçer not aldığı) toplamına eşittir.

Bu bilgileri kullanarak, Bayes Teoremi’ni kullanarak kağıdın aslında geçer not aldığı bilindiğinde, kağıdın seçilme olasılığı hesaplanabilir:

P(A∣B)=P(B)P(B∣A)⋅P(A)

P(A∣B)=0.1⋅0.7+0.15⋅0.30.1⋅0.7

P(A∣B)=0.1150.07

P(A∣B)≈0.6095

Yani, kağıdın aslında geçer not aldığı bilindiğinde, kağıdın geçer not olma olasılığı yaklaşık %60.95’tir.