Çözüldü Faktoriyel soruları nasıl çözülür?

2. görseldeki soruda 24'ü çarpanlarına ayırıyoruz. 1.2.3.4 şeklinde. Ve 1.2.3... 23 olacaktır. Cevap C şıkkı, 23 faktoriyel olacak.

Bora Dere dedi:

İlk soru:

Belli bir sayıdan sonraki sayıların faktöriyelini aldığımızda son basamakların hep 0 olduğunu fark edeceksiniz. Bu durum 5 ve sonrasında geçerli. 5! = 120, 6! = 720... Sondan kaç basamağının 0 olduğunu bulmak için sayıyı 5'e bölebilirsiniz. Mesela 10!'in sondan kaç basamağı sıfırdır? 10/5 = 2. Dolayısıyla 24!'in de sondan 4 basamağının 0 olduğunu doğrulayabiliriz.

4! de 24 eder. Soru aslında XXXXX....XXXXX0000 - 24 = ? oldu. Baştaki X'lerin ne olduğu önemsiz, zira zaten son 4 basamaktaki rakamın toplamı isteniyor. Cevap 9+9+7+6 = 31.


İkinci soru:

24! = 24.23.22..........4.3.2.1 diye düşünebilirsiniz. Görebileceğiniz üzere verilen ifade 24!'in 4.3.2.1'e, yani 24'e bölünmüş hali. 24.23!/24 olarak düşünürseniz de cevap 23 oluyor.

Genişletmek için tıkla...

Hocam ilk soruyla karşılaşırsak direkt bunların basamağının sonu sıfırdır deyip hemen çıkarma yapıp bulup geçebilir miyiz soruyu?

One Face dedi:

Hocam ilk soruyla karşılaşırsak direkt bunların basamağının sonu sıfırdır deyip hemen çıkarma yapıp bulup geçebilir miyiz soruyu?

Genişletmek için tıkla...

Örnekteki gibi soruyorsa zaten değeri hesaplatmıyordur, orada başka bir özelliği yorumlamanı istiyordur. Bu örnekte de sonda kaç tane 0 olduğunu bulabiliyor musun ölçmek istemiş. Doğrudan bu özelliği soracaklarını düşünmüyorum açıkçası, belki sorunun içinde bir yerde kullanmanız gerekir fakat sadece buna dayalı bir soru olmaz bence.

Zaten dediğim işlemi kafadan yapmak 5-10 saniye falan alır en fazla. Bu kadar kısa bir süreden feragat etmek için riske atmaya bence değmez.

Bora Dere dedi:

Örnekteki gibi soruyorsa zaten değeri hesaplatmıyordur, orada başka bir özelliği yorumlamanı istiyordur. Bu örnekte de sonda kaç tane 0 olduğunu bulabiliyor musun ölçmek istemiş. Doğrudan bu özelliği soracaklarını düşünmüyorum açıkçası, belki sorunun içinde bir yerde kullanmanız gerekir fakat sadece buna dayalı bir soru olmaz bence.

Zaten dediğim işlemi kafadan yapmak 5-10 saniye falan alır en fazla. Bu kadar kısa bir süreden feragat etmek için riske atmaya bence değmez.

Genişletmek için tıkla...

Hocam tam anlamadım da. Kaç tane sıfırını bulmak için o sayısı 5'e bölüyoruz.
Mesela 12! diyelim. Bunu normal 12 gibi düşünüp 5'e böleceğim değil mi?

Aynen öyle. Mantığını da şöyle anlatayım o zaman: Bir sayının sonunda 0 olması için o sayının çarpanları arasında 10 olması gerekir. 10 sayısını da asal çarpanlarına ayırdığımız zaman 2 ve 5'i elde ediyoruz. Şimdi sayma sayılarını biraz sıralayalım:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.....

Mesela 9!'in sonunda kaç sıfır var, buna bakacağız. 9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9. Bu rakamları da asal çarpanlarına ayırdığımız zaman 2'den 7 tane, 5'ten ise sadece 1 tane var. Bu her zaman böyle gidecek, 2 her zaman 5'ten fazla olacak. Çünkü:

1. 5 çarpanı her 5 sayıda bir gelirken 2 çarpanı her 2 sayıda bir geliyor.
2. Daha ilk 5 çarpanı gelemeden 2'den 3 tane elde ediyoruz.

Dolayısıyla sayıyı 5'e bölerek (yani beşli gruplara ayırarak) kaç tane 5 çarpanı içerdiğini buluyoruz. E her 5 çarpanını 10 yapmak için de bir 2 çarpanını rahatça bulabildiğimizi göz önünde bulundurursak bu şekilde bir sayının faktöriyelinin sondan kaç basamağının 0 olduğunu anlayabiliyoruz.


Bu bölme işlemi hakkında bir de şu bilgiyi vereyim, belki aklınıza takılır. Mesela 25!'in sonunda kaç tane 0 olduğunu bulacağız. 25/5 = 5. Cevap 5 mi? Hayır. Çünkü bu yaptığımız bölme işlemi aslında tekrarlı bölme işlemi. Eğer bölüm 5'e bölünebiliyorsa bölünemeyene kadar bölmeye devam ediyoruz ve her bölme işleminde elde ettiğimiz sonucu topluyoruz. Yani yapılan işlemin bir sonraki aşaması 5/5 = 1 olacaktır. 5+1 = 6 ediyor, yani 25!'in sondan 6 basamağı sıfırdır.