Gofret1923
Picopat
- Katılım
- 30 Ocak 2022
- Mesajlar
- 711
- Çözümler
- 5
Daha fazla
- Cinsiyet
- Erkek
Merhabalar, bugün doğal logaritmalardan, logaritmanın özelliklerinden ve ispatlarını yapacağız.
Kısaca özet geçmek gerekirse.
Herhangi bir pozitif X sayısının Ln X olarak yazılan doğal logaritması bir integral olarak tanımlanır.
X
Tanım: Ln X = ∫ (1/t) dt formülü ile verilen bir fonksiyondur.
1
Kalkülüs Temel Teoremi'nde ln X sürekli bir fonksiyondur. Geometrik olarak, eğer x>1 ise ln X, t = 1'den t = X'e kadar y = 1/t eğrisinin altında kalan alanın negatif kısmını verir. Ayrıca belirli integraller için sıfır genişlik aralık kuralı aşağıdaki gibi eşitliği vardır.
1
Ln 1 = ∫ (1/t).dt = 0.
1
Tanım: E sayısı, doğal logaritma fonksiyonun tanım kümesinde ln (e) = 1 eşitliği sağlayan sayıdır.
Y = ln X'in türevi.X
D/dx lnx = d/dx ∫ (1/t).dt = 1/x.
1
Her pozitif X sayısı için ln X'in türevi şöyledir.
D/dx ln X = 1/x
Ve zincir kuralı bu formülü pozitif u(x) fonksiyonları ile genişletilebilir.
D/dx ln(u) = d/du ln u 1/u
D/dx ln u = 1/u du/dx u>0'dan.
Örnek: Ln(x^2+3)'in türevini allaım.
D/dx ln (x^2+3) = 1/(x^2+3). 2X = 2x/(x^2+3) şeklinde bulunur.
Logaritmanın tarihçesi ve özellikleri
Logaritmalar John Napier tarafından bulunmuştu. Modern bilgisayarlardan önce aritmetik hesaplamalardaki en önemli tek gelişmeydi. Onların bu kadar kullanışlı yapan şey, pozitif sayılarının çarpımını logairtmalarını toplayarak yapılabilinmesini, pozitif sayıların bölümünü logaritmalarını çıkararak yapılabilmesini ve bir sayının kuvvetini almayı sayının logaritmasını kuvvet ile çarparak yapılabilmesini sağlayan özelliklerdir.
Teorem: Doğal logaritmanın cebirsel özellikler;
Herhangi b>0 ve x>0 sayıları için doğal logaritma aşağıdaki kuralları sağlar
Ln BX = lnb + lnx
lnb/x = lnb - lnx
Ln 1/x = -lnx
Ln x^r = r lnx
Çarpım üzerinden örnekler.
Ln 4 + Ln sinx = Ln (4sinx)
Ln x+1/2x-3 = ln(X+1) - ln(2X-3)
ln bx'in = lnx + lnb olmasın ispatı;
Ln bx'in türevi alınır.
d/dx Ln bx = 1/bx. b = 1/x şeklindedir.
ln bx = lnx + C 'idir.
x = 1 için Ln b.1 = ln1+ C elde edilir.
Ln b = ln1 + C
Ln b = 0 + C
C = lnb
Değeri yerine yazdığımızda
Ln bx = ln x + ln b oluyor.
Kaynak: Thomas Kalkülüs.
Kısaca özet geçmek gerekirse.
Herhangi bir pozitif X sayısının Ln X olarak yazılan doğal logaritması bir integral olarak tanımlanır.
X
Tanım: Ln X = ∫ (1/t) dt formülü ile verilen bir fonksiyondur.
1
Kalkülüs Temel Teoremi'nde ln X sürekli bir fonksiyondur. Geometrik olarak, eğer x>1 ise ln X, t = 1'den t = X'e kadar y = 1/t eğrisinin altında kalan alanın negatif kısmını verir. Ayrıca belirli integraller için sıfır genişlik aralık kuralı aşağıdaki gibi eşitliği vardır.
1
Ln 1 = ∫ (1/t).dt = 0.
1
Tanım: E sayısı, doğal logaritma fonksiyonun tanım kümesinde ln (e) = 1 eşitliği sağlayan sayıdır.
Y = ln X'in türevi.X
D/dx lnx = d/dx ∫ (1/t).dt = 1/x.
1
Her pozitif X sayısı için ln X'in türevi şöyledir.
D/dx ln X = 1/x
Ve zincir kuralı bu formülü pozitif u(x) fonksiyonları ile genişletilebilir.
D/dx ln(u) = d/du ln u 1/u
D/dx ln u = 1/u du/dx u>0'dan.
Örnek: Ln(x^2+3)'in türevini allaım.
D/dx ln (x^2+3) = 1/(x^2+3). 2X = 2x/(x^2+3) şeklinde bulunur.
Logaritmanın tarihçesi ve özellikleri
Logaritmalar John Napier tarafından bulunmuştu. Modern bilgisayarlardan önce aritmetik hesaplamalardaki en önemli tek gelişmeydi. Onların bu kadar kullanışlı yapan şey, pozitif sayılarının çarpımını logairtmalarını toplayarak yapılabilinmesini, pozitif sayıların bölümünü logaritmalarını çıkararak yapılabilmesini ve bir sayının kuvvetini almayı sayının logaritmasını kuvvet ile çarparak yapılabilmesini sağlayan özelliklerdir.
Teorem: Doğal logaritmanın cebirsel özellikler;
Herhangi b>0 ve x>0 sayıları için doğal logaritma aşağıdaki kuralları sağlar
Ln BX = lnb + lnx
lnb/x = lnb - lnx
Ln 1/x = -lnx
Ln x^r = r lnx
Çarpım üzerinden örnekler.
Ln 4 + Ln sinx = Ln (4sinx)
Ln x+1/2x-3 = ln(X+1) - ln(2X-3)
ln bx'in = lnx + lnb olmasın ispatı;
Ln bx'in türevi alınır.
d/dx Ln bx = 1/bx. b = 1/x şeklindedir.
ln bx = lnx + C 'idir.
x = 1 için Ln b.1 = ln1+ C elde edilir.
Ln b = ln1 + C
Ln b = 0 + C
C = lnb
Değeri yerine yazdığımızda
Ln bx = ln x + ln b oluyor.
Kaynak: Thomas Kalkülüs.
Son düzenleyen: Moderatör:
