1 + 2 + 4 + 8... = -1

Herkese selam, bugün sizlere Calculus 2 derslerinden aklımda kalan en acayip matematik ilişkisini anlatacağım.

Bana göre matematiğin en acayip, en akıl almaz konusu her zaman sonsuz seriler olmuştur. Çünkü cevapları her zaman akıl dışı çıkıyor. Örneğin 1 + 2 + 4 + 8... diye sonsuza kadar 2'nin kuvvetlerini topladığımızda cevap ne çıkıyor dersiniz? Cevabı muhtemelen "sonsuz" diye tahmin etmişsinizdir ama hayır, cevap -1 Pozitif sayıları sonsuza kadar topluyoruz ve cevap -1 çıkıyor, ilginç değil mi?

Peki neden -1 çıktı? Bu nasıl mümkün olabiliyor? Cevabı Maclaurin serilerinde gizli. Maclaurin serisi Taylor serisinin 0'lı hali diyebiliriz. Taylor serisini şu şekilde tanımlarsak
f(x) = f(a) + f'(a)x + f''(a)x^2 / 2! + f'''(a)x^3 / 3!... Maclaurin serisi de aynı serinin a = 0 hali oluyor.

Gördüğünüz üzere f(x), sonsuz kere türevi alınabilen bir fonksiyon olduğunda Taylor serisi şeklinde tanımlanabiliyor. Peki bunu nasıl kullanacağız? f(x) = 1/(1-x) çok şanslıyız ki sonsuz kere türevi alınabilen bir fonksiyon.

f(x) = 1/(1-x) = (1-x)^(-1), f'(x) = (1-x)^(-2), f''(x) = 2(1-x)^(-3)...

Eğer f'in x = 0'daki türevlerini yerine koyacak olursak 0. türevi için 0!, 1. türevi için 1!, 2. türevi için 2! şeklinde sürekli türev mertebesine eşit olan bir dizi elde ediyoruz. Maclaurin serisinde de her elemanı dizi indisinin faktöriyeline böldüğümüz için x = 0'daki türevler ve faktöriyeller sadeleşecektir ve geriye sadece 1 + x + x^2... şeklinde bir seri kalır.

Yani kısaca, 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3... diyebiliyoruz. x = 2 dersek bu sefer 1 + 2 + 4 + 8... = 1 / (1-2) = -1 cevabına ulaşıyoruz.

Konu hakkındaki 1 dakikalık videomu aşağıda bulabilirsiniz (İngilizce):

Bu içeriği görüntülemek için üçüncü taraf çerezlerini yerleştirmek için izninize ihtiyacımız olacak.
Daha detaylı bilgi için, çerezler sayfamıza bakınız.

Üçüncü taraf çerezlerini kabul et

Gerçekten emek vererek insanlara bir şeyler katmak isteyen insanlar bulunmuyor bu dönemde. Teşekkürler.

osuran kaplumbağa dedi:

Gerçekten emek vererek insanlara bir şeyler katmak isteyen insanlar bulunmuyor bu dönemde. Teşekkürler.

Genişletmek için tıkla...

Sağ olun hocam, dersleri adam akıllı dinleseydim epey rehber yazardım da işten güçten çok zaman bulamıyorum.

Elinize sağlık hocam

Fikir güzel ama bir sorun var. O seri -1 < x < 1 aralığında yakınsak. Yani Maclaurin serisi açılımını ancak o zaman kullanabilirsiniz.

Vavien. dedi:

Fikir güzel ama bir sorun var. O seri -1 < x < 1 aralığında yakınsak. Yani Malaurin serisi açılımını ancak o zaman kullanabilirsiniz.

Genişletmek için tıkla...

Acayip kısmı Ramanujan toplamında da sonuç -1 çıkıyor. Ramanujan toplamını ıraksak seriler için kullanabiliyoruz. Biraz daha çalışayım bakalım çok ilginç konular bunlar

Serinin(2^n) n sonsuza giderken limitini alınca cevap yine sonsuz çıkıyor.

Ayrıca şu testi de yapabiliriz.

Elinize sağlık ben bu tarz şeylere ilgiliyim de bu tarz konular hangi bölümlerde var ? Bilgisayar mühendisliğinde varsa büyük ihtimal gözüm kapalı gideceğim.

İmperceptible dedi:

Elinize sağlık ben bu tarz şeylere ilgiliyim de bu tarz konular hangi bölümlerde var ? Bilgisayar mühendisliğinde varsa büyük ihtimal gözüm kapalı gideceğim.

Genişletmek için tıkla...

Her mühendislikte var. Calculus 1 ve 2 ilk senede görülen zorunlu matematik dersleri.