Pisagor üçgeni yaratmak

Şimdiki müfredatı bilmiyorum ama benim zamanımda ortaokul 2.sınıfta (şimdiki 7.sınıfta) karşılaştığım bir kavramdı Pisagor. Geometrinin vazgeçilmezi, okul hayatım boyunca her kitabın içinde sırıtan bir teorem. Matematiğin veya onu kendine baz alarak çalışan bilim alanlarının (mesela fizik gibi) olmazsa olmaz bir teoremi Pisagor. O kadar konuştuk iyi de, bu teorem bize ne diyor ki? Teoremin ortaya çıkışı, her ne kadar üçgenlere dayanmasa da, matematikçilerin keskin zekası ve geniş paradigmaları sayesinde, Pisagor teoreminin üçgenlere de uygulanabileceğini biliyoruz. Teorem kısaca, bir dik üçgenin 2 dik kenarının uzunluklarının kareleri toplamının karekökü, diğer kenarın uzunluğunu verecektir. Aşağıdaki görselde bu uygulanışı görebilirsiniz.



Elbetteki reel sayılar kümesinde çalıştığınız zaman, a²+b²=c² eşitliğini sağlayan sonsuz tane sayı var. Peki ya tam sayılar kümesinde çalışırsak? Çok bilinen ve artık hepimizin de aşina olduğu belli Pisagor üçgenleri var. Mesela 3, 4, 5 üçgeni veya 7, 24, 25 veya 5, 12, 13 üçgenleri gibi. Bunların hepsi de tam sayılar kümesinde olan üçgenler. Temel soru, bu şekilde kaç tane Pisagor üçgeni elde edebiliriz? Sonsuz dersem bana kızmazsınız herhalde. Tüm Pisagor üçgenlerini vermese de, belli bir kurala uygun bütün Pisagor üçgenlerini nasıl bulabileceğinizi anlatacağım.

Şimdi ilk yapmamız gereken şey, rastgele bir tek sayı seçmek olacak. Örneğin ben 1'i seçiyorum. Biraz kolay olsun. Sonraki adımda, seçtiğim sayıdan bir sonra gelen ardışık tek sayıyı alacağım. "Lafı uzatma işte seçtiğin sayıya 2 ekle ya" diyebilirsiniz. 1+2 = 3. Diğer sayımız 3. Şimdi elimdeki bu 2 sayının toplamını ve çarpımını alacağım. Toplamları 4, çarpımları ise 3. Aha! Sanki 3, 4, 5 üçgeni geldi gibi. Evet aslında tamamen olan buydu. Eğer 2 ardışık tek sayısının toplamı ve çarpımı, farklı 2 dik kenarın uzunluğu ise, bu Pisagor üçgeni tam sayılar kümesinde kesinlikle tanımlı bir üçgendir. Mesela bir de 3 için deneyelim. 2 fazlası 5, çarpımları 15, toplamları 8, böylece elde ettiğim üçgen 8, 15, 17 üçgeni olur. Sizi hesaplamaktan kurtarmak adına, yazdığım küçük bir Console uygulamasında bir kaç tane üçgen elde ettim. Zaten açıkça belli oluyordur.


Elbetteki bu küçük uygulama, 2 sayının karesinin toplamının karekökü şeklinde çalışıyor. Bana güvenebilirsiniz. Ancak bu yöntem ile bulduğumuz Pisagor üçgenlerine biraz dikkat etmemiz lazım. Mesela 20, 99, 101 üçgenine bakarsak, hipotenüs'ün 2 eksiği, dik kenarlardan birinin uzunluğuna eşit. 101-2=99, ve bu bir dik kenarın uzunluğu. Bu durum 3, 4, 5 üçgeni için de geçerli. 5-2=3. Veya 28, 195, 197 üçgeni için de aynı şey! Aman tanrım! Bu bize ilginç bir şeyi daha söyler. Bu yöntemle bulduğunuz bir Pisagor üçgeninin, hipotenüsünü de zahmet etmeden bulabilirsiniz. Sizin için çok büyük sayı ile Pisagor üçgeni yaratayım.

Örnek olarak, 1153 sayısını ele alalım. 2 fazlası 1155 yapar. Toplamları 2308 'dir. Çarpımları ise 1331715. Aman ya şimdi kim uğraşacak 2308 ile 1331715'in karesiyle falan! Uğraşmayın zaten. Hipotenüs, uzunluğu tek sayı olan kenarın 2 fazlasıdır. Eh, şimdi elimizde 2308, 1331715, 1331717 üçgeni var. Saatlerce düşünseniz, böyle bir Pisagor üçgeni aklınıza gelmezdi değil mi? Ne yalan söyleyeyim, benim gelmezdi.

Pek tabi bunlar matematik dünyasında sahip olduğumuz tüm Pisagor üçgenlerini vermez. Örneğin, bu yöntem ile 5, 12, 13 üçgenini veya 9, 40,41 veya 11, 60, 61 üçgenini bulmanız mümkün değil. Çünkü bu yöntemin bize verdiği üçgenlerin ortak özelliği, hipotenüsün 2 eksiği, bir dik kenara eşittir. 5, 12, 13 üçgeninde bunu göremezsiniz. (13-2=11? Bu ne ya? :S) Belki bir gün hipotenüsün 1 eksiği, bir dik kenar olan Pisagor üçgenlerini de anlatırım. <3

Umarım hoşunuza gitmiştir.