Merhabalar,
Öncelikle kendimi tanıtayım: Bir yükseköğretim kurumunda matematik üzerine lisans eğitimi alıyorum. Bu makalede, First Order Differential Equation ve Integrating Factor konularında kısa bir çalışma sunacak ve aynı zamanda kendi LaTeX programımdaki hâkimiyetimi geliştirmek için yaptığım denemeleri paylaşacağım.
Çalışmam PNG formatında paylaşılacak, ancak kodları da yanında paylaşacağım.
Öncelikle kendimi tanıtayım: Bir yükseköğretim kurumunda matematik üzerine lisans eğitimi alıyorum. Bu makalede, First Order Differential Equation ve Integrating Factor konularında kısa bir çalışma sunacak ve aynı zamanda kendi LaTeX programımdaki hâkimiyetimi geliştirmek için yaptığım denemeleri paylaşacağım.
Çalışmam PNG formatında paylaşılacak, ancak kodları da yanında paylaşacağım.
Kod:
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{tcolorbox} % Örnek çözümler için kutucuk
\usepackage{geometry}
\geometry{margin=1in}
\title{First Order Linear Ordinary Differential Equations (ODEs)}
\begin{document}
\maketitle
\section*{First Order Linear ODE}
Any first order linear ODE
\[
a(t)y' + b(t)y = c(t)
\]
can be rewritten in standard form as
\[
y' + p(t)y = q(t)
\]
To solve a first order linear ODE, we use an \textbf{integrating factor} $\mu(t)$ such that, after multiplying the ODE by $\mu(t)$, the left-hand side becomes
\[
\big(\mu(t)y(t)\big)'.
\]
\[
y' + p(t)y = q(t) \quad \Longrightarrow \quad \mu(t)y' + \mu(t)p(t)y = \mu(t)q(t)
\]
Integrating both sides gives:
\[
\int (\mu y)' \, dt = \int \mu q \, dt \quad \implies \quad \mu y = \int \mu q \, dt
\]
Thus, the solution is:
\[
y(t) = \frac{1}{\mu(t)} \int \mu(t) q(t) \, dt
\]
\subsection*{Finding the Integrating Factor}
\[
(\mu y)' = \mu y' + \mu p y
\]
\[
\mu' y + \mu y' = \mu y' + \mu p y \quad \implies \quad \frac{\mu'}{\mu} = p
\]
Integrating:
\[
\mu(t) = e^{\int p(t) \, dt}
\]
\section*{Example}
Solve the following DE:
\[
y' - 2y = 3e^{5t}
\]
\begin{tcolorbox}[colback=blue!5!white,colframe=blue!75!black,title=Solution]
\begin{enumerate}
\item \textbf{Find the integrating factor:}
\[
\mu(t) = e^{\int -2 \, dt} = e^{-2t}
\]
\item \textbf{Multiply the DE by $\mu(t)$:}
\[
e^{-2t}y' - 2 e^{-2t}y = 3 e^{5t} \cdot e^{-2t}
\]
\[
\frac{d}{dt} \big( e^{-2t} y \big) = 3 e^{3t}
\]
\item \textbf{Integrate both sides:}
\[
\int \frac{d}{dt}(e^{-2t} y) \, dt = \int 3 e^{3t} \, dt
\]
\[
e^{-2t} y = e^{3t} + C
\]
\item \textbf{Solve for $y(t)$:}
\[
y(t) = e^{5t} + C e^{2t}
\]
\end{enumerate}
\end{tcolorbox}
\end{document}
