Önce 2'nin hangi kuvvetinin 9'a bölümünden kalanının 1 olduğunu bulalım:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 7
- 2⁵ = 5
- 2⁶ = 1
Bundan sonra, artık
(1, 2, 4, 8, 7, 5)
'in tekrarladığından emin olabiliriz. Bunun nedenini arıyoruz.
2'nin
k
. Kuvvetini bulmak için
2ᵏ = 2ᵏ⁻¹ * 2
işlemini yapıyoruz; daha doğrusu, yapabiliriz. Burada
2ᵏ⁻¹
'den ne kadar 9 çıkarırsak çıkaralım (veya ne kadar eklersek ekleyelim) çarpımın 9'a bölümünden kalan değişmeyecektir çünkü çarpımdan da,
2ᵏ⁻¹
'den ne kadar çıkardıysak onun 2 katını çıkarmış olacağız yani yine 9'un katı. Dolayısıyla
2ᵏ⁻¹
yerine 9'a bölümünden kalanı,
2ᵏ⁻¹
'in 9'a bölümünden kalanıyla aynı olan bir sayıyı alırsak (
m
olsun)
m * 2
'nin de 9'a bölümünden kalan aynı olacaktır çünkü dikkat edin ki
m
,
2ᵏ⁻¹
sayısından belirsiz sayıda 9 çıkarmakla (veya eklemekle) elde edilebilir bir sayı, sonuçta kalanlar eşit. Bu nedenle de 9'a bölümünden kalanı eşit olan 2'nin tüm kuvvetleri için bir sonraki kuvvetlerin de kalanı eşit olacaktır.
Bu aslında sadece
2ᵏ⁻¹ * 2
formundaki çarpımlar için değil genel çarpım ifadeleri için (
a * b
) de geçerli.
a
yerine 9'a bölümünden kalanı
a
'nınkine eşit bir sayı yazabilirsiniz ve çarpımın kalanı yine de değişmez çünkü
a
'dan ne kadar 9 çıkarırsanız çarpımdan da onun
b
katı kadar çıkarmış olursunuz yani yine 9'un katı.
2⁰ ve 2⁶ sayılarının 9'a bölümünden kalanları eşit olduğu için devamlarındaki kuvvetlerin kalanları da eşit oluyor.
Şöyle de düşünebilirsiniz: 2⁶'nın 9'a bölümünden kalan 1 olduğu için aslında 2⁶ çarpımda etkisiz eleman (1) olacaktır. Bu sebeple 6 uzaklıktaki kuvvetlerin 9'a bölümünden kalanları eşittir:
0., 6., 12., 18., ...
1., 7., 13., 19., ...
- ...
5., 11., 17., 23., ...
Fark ettiyseniz "1'e ulaşmak" ile kısıtlamadım açıklamayı. Herhangi bir değere tekrar ulaşmamız, tekrara ulaşmamızın göstergesi olur. Mod değeri olarak 9 değil 20 seçerseniz:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 8
- 2⁴ = 16
- 2⁵ = 12
- 2⁶ = 4
Tekrar eden kısım
(4, 8, 16, 12)
olup 2'nin 0. ve 1. kuvvetleri tekrarın dışında kalıyor. Tekrar illa 0. kuvvetten başlamak zorunda değil yani.
Bir başka örnek olarak mod değeri 6 olsun:
- 2⁰ = 1
- 2¹ = 2
- 2² = 4
- 2³ = 2
Burada da tekrar kısmı
(2, 4)
. Sadece 0. kuvvet tekrarın dışında.